Doctorat en Mathématiques Appliquées : Solveurs implicites avec corésolution pas de temps et démarrage à chaud pour les problèmes d’évolution en géosciences – INSA Rennes

La discrétisation numérique de modèles physiques représentant des problèmes évolutifs dans de nombreux domaines conduit à des systèmes algébriques non linéaires de très grandes dimensions. Le processus de résolution de ces systèmes, qui doit être mené de manière robuste et rapide à chaque pas de temps afin d’augmenter l’efficacité des logiciels, se heurte à de nombreux obstacles. Dans cette thèse, nous proposons d’examiner deux des plus notables, pour lesquels nous avons des solutions possibles.

Le premier obstacle concerne la taille du pas de temps. Dans un schéma implicite, un pas de temps important permet d’aller plus vite, au prix de rendre le système plus rigide et donc plus difficile à converger pour le solveur. En revanche, un petit pas de temps facilite la résolution du système, au détriment d’un plus grand nombre de pas de temps nécessaires, et donc du coût global. À l’heure actuelle, il n’existe pas de stratégie idéale pour gérer les pas de temps. Pour certaines EDO, où des estimations d’erreur peuvent être conçues, il existe des techniques d’adaptabilité éprouvées. Pour les PDE, cependant, il faut se contenter de diverses heuristiques pour ajuster le pas de temps lors de la simulation. Ces dernières années, une nouvelle approche a émergé, inspirée des méthodes de continuation, dans laquelle le pas de temps devient une inconnue en soi. Toutes les inconnues sont mises à jour simultanément par une méthode itérative, d’où le terme de co-solution . L’avantage est que toute itération intermédiaire peut être récupérée comme solution de secours en cas de non convergence. L’inconvénient réside cependant dans le fait que l’équation supplémentaire doit être correctement prescrite. C’est là que nous cherchons à aller plus loin que l’état actuel de l’art en considérant les conditions d’optimalité d’un problème d’optimisation.

Le deuxième obstacle concerne le point initial pour le solveur. Bien que la valeur des inconnues au pas de temps précédent soit un choix naturel, il existe des cas où cela n’est pas conseillé. En effet, lorsque certaines équations sont des relations de complémentarité et que le système est résolu par une méthode des points intérieurs, il est indispensable de partir d’un point strictement intérieur. Alors, le choix de l’état précédent, qui se situe à la limite du domaine admissible, s’avère préjudiciable. Pour y remédier, nous recommandons de transposer les idées de démarrage à chaud de la programmation linéaire au cadre non-linéaire, ainsi qu’à celui de la co-résolution par pas de temps. Le succès de cette entreprise nous permettrait de déployer des méthodes de points intérieurs à une échelle réaliste.

Mots clés : systèmes non linéaires, méthode de Newton, méthode de continuation, corésolution, programmation linéaire, optimisation sous contrainte

Directeur académique : Mounir HADDOU (INSA Rennes)

Autres encadrants : Quang Huy TRAN (IFPEN) et Ibtihel BEN GHARBIA

Ecole Doctorale : ED MATISSE 601 (Université de Rennes)